1．定義

　　一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．其中x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項．

　　2．圖象和性質

　　二次函數的圖象都是開口向上或者向下的拋物線，都有一條垂直于x軸的對稱軸，都有一個或者最高或者最低的頂點．一般地，二次函數y=ax2+bx+c的圖象叫做拋物線y=ax2+bx+c．

　　（1）y=ax2(a是常數，a≠0）的性質

　　①開口方向：

　　a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．

　　②頂點坐標：（0，0）

　　a＞0時，（0，0）為最低點；

　　a＜0時，（0，0）為最高點．

　　③對稱軸：y軸（直線x=0）．

　　④增減性：

　　當a＞0，且x＞0或a＜0，且x＜0時，

　　y隨x的增大而增大（同增）；

　　當a＞0，且x＜0或a＜0，且x＞0時，

　　y隨x的增大而減小（異減）．

　　⑤最值：

　　當a＞0，且x=0時，y有最小值0；

　　當a＜0，且x=0時，y有最大值0．

　　（2）y=ax2+c(a，c是常數，a≠0）的性質

　　①開口方向：

　　a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．

　　②頂點坐標：（0，c）

　　a＞0時，（0，c）為最低點；

　　a＜0時，（0，c）為最高點．

　　③對稱軸：y軸（直線x=0）．

　　④增減性：

　　當a＞0，且x＞0或a＜0，且x＜0時，

　　y隨x的增大而增大（同增）；

　　當a＞0，且x＜0或a＜0，且x＞0時，

　　y隨x的增大而減小（異減）．

　　⑤最值：

　　當a＞0，且x=0時，y有最小值c；

　　當a＜0，且x=0時，y有最大值c．

　　（3）y=a（x-h）2(a，h是常數，a≠0）的性質

　　①開口方向：

　　a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．

　　②頂點坐標：（h，0）

　　a＞0時，（h，0）為最低點；

　　a＜0時，（h，0）為最高點．

　　③對稱軸：直線x=h．

　　④增減性：

　　當a＞0，且x＞h或a＜0，且x＜h時，

　　y隨x的增大而增大（同增）；

　　當a＞0，且x＜h或a＜0，且x＞h時，

　　y隨x的增大而減小（異減）．

　　⑤最值：

　　當a＞0，且x=h時，y有最小值0；

　　當a＜0，且x=h時，y有最大值0．

　　（4）y=a（x-h）2+k(a，h，k是常數，a≠0）

　　的性質

　　①開口方向：

　　a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．

　　②頂點坐標：（h，k）

　　a＞0時，（h，k）為最低點；

　　a＜0時，（h，k）為最高點．

　　③對稱軸：直線x=h．

　　④增減性：

　　當a＞0，且x＞h或a＜0，且x＜h時，

　　y隨x的增大而增大（同增）；

　　當a＞0，且x＜h或a＜0，且x＞h時，

　　y隨x的增大而減小（異減）．

　　⑤最值：

　　當a＞0，且x=h時，y有最小值k；

　　當a＜0，且x=h時，y有最大值k．

　　（5）y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0）

　　的性質

　　①開口方向：

　　a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．

　　②頂點坐標：

　　a＞0時，為最低點；

　　a＜0時，為最高點．

　　③對稱軸：．

　　④增減性：

　　當a＞0，且x＞或a＜0，且x＜時，

　　y隨x的增大而增大（同增）；

　　當a＞0，且x＜或a＜0，且x＞時，

　　y隨x的增大而減小（異減）．

　　⑤最值：

　　當a＞0，且x=時，y有最小值；

　　當a＜0，且x=時，y有最大值．

　　3．三種表達式

　　（1）一般式：

　　y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0）；

　　（2）頂點式：

　　y=a（x-h）2+k(a，h，k是常數，a≠0）；

　　（3）交點式：

　　y=a（x-x？）（x-x？）(a，x？，x？是常數，a≠0，

　　x？，x？分別是拋物線與x軸交點的橫坐標）．

　　4．a，b，c的作用

　　（1）a決定拋物線的開口方向和大小：

　　①a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下．

　　②|a|越大，開口越小；|a|越小，開口越大．

　　（2）a、b決定拋物線對稱軸的位置：

　　①ab＞0（a，b同號）時，

　　對稱軸在y軸左側(左同)

　　②ab＜0（a，b異號）時，

　　對稱軸在y軸右側(右異)

　　③ab=0（b=0）時，對稱軸為y軸(0中間)

　　（3）c決定拋物線與y軸交點（0，c）的位置：

　　①c＞0，拋物線與y軸正半軸相交

　　②c＜0，拋物線與y軸負半軸相交

　　③c=0，拋物線與y軸相交于原點

　　（4）b2-4ac決定拋物線與x軸交點的個數：

　　①b2-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個交點

　　②b2-4ac＜0，拋物線與x軸無交點

　　③b2-4ac=0，拋物線與x軸有唯一一個

　　交點（即拋物線的頂點）

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