典型例題7：難度★★★

應(yīng)用整式知識(shí)解答下列問(wèn)題:

(1)任意寫(xiě)出一個(gè)三位數(shù),然后把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置,得到另一個(gè)三位數(shù),求證:這兩個(gè)三位數(shù)的差總能被99整除;

(2)一個(gè)三位數(shù),將它的各位數(shù)字分別按從大到小和從小到大的順序重新排列,把所得到的兩個(gè)三位數(shù)相減,若差等于原來(lái)的三位數(shù),則稱這個(gè)三位數(shù)為克隆數(shù).求出所有的三位克隆數(shù).

【答案解析】

【解題思路】

(1)設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位數(shù)字分別為a、b、c，然后根據(jù)題意列式求解.

(2)復(fù)雜題目中可采用列舉逐一排除的“笨”方法.

【答案解析】

(1)設(shè)這個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位數(shù)字分別為a、b、c,則這個(gè)三位可以表示為100a+10b+c,交換a、c位置后的新三位數(shù)可以表示為100c+10b+a,這兩數(shù)之差為:(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a—99c=99(a-c),所以這兩個(gè)三位數(shù)的差總能被99整除.

(2)由(1)可知克隆數(shù)必是99的倍數(shù),三位數(shù)中,99的倍數(shù)共有9個(gè): 198、297、396、495、594、693、792、891、990.經(jīng)逐—檢驗(yàn),符合題意的三位克隆數(shù)只有495.

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